新智元レポート
編集：サイ
【新智元ガイド】18年間未解決だった数学の難問が、わずか30日のうちにAlphaEvolveと人類の協力によって3度も突破されました！和差集合の指数θは1.173050から1.173077に向上し、加法組み合わせ論の頂点を更新しました。この「人機共演」は数学界を震撼させただけでなく、科学的発見の新時代を予感させます。
数学界は再び奇跡を目撃しました！
18年間も眠っていた難問が、わずか1ヶ月の間にAIと人類の協力で3度も突破されたのです！
そのたびに、可能性に対する私たちの認識が新たな高みへと押し上げられました。
6月2日、Fan ZhengがarXivで発表した最新論文では、和差集合の指数θの記録がまたしても0.000027引き上げられ、1.173050から1.173077になりました。
0.000027——顕微鏡でしか識別できないようなわずかな差ですが、加法組み合わせ論の天井をさらに一寸押し上げたのです。
論文URL: https://arxiv.org/abs/2506.01896
これほど迅速かつ連続的な進展は、数学者とAI（AlphaEvolve）の相互協力なしには実現できませんでした。
AIが人類の科学最前線の推進を支援していると言えるでしょう！
この突破にテレンス・タオも「私にとって、これは魅力的な実例だ」と感嘆しています。
タオは、これが将来の数学研究において、高度なコンピュータ支援、中程度のコンピュータ支援、そして伝統的な「紙と鉛筆」の方法がどのように相互作用するかを示していると考えています。
これらのパラダイムにはそれぞれ長所と短所があります。
例えば、現在のAlphaEvolveでは、後続の論文で使用される漸近的な構成を用いるのは極めて困難です。しかしその一方で、AlphaEvolveの総当たり探索がなければ、人間の方法ではこれらの改善の突破口を見つけることも困難だったでしょう。
彼の言葉は、ニュートンの有名な言葉を思い出させます。「もし私が他の人よりも遠くを見ることができたとすれば、それは巨人の肩の上に立っていたからだ。」
しかし、ここでいう巨人は、先行者の知恵の蓄積だけでなく、AlphaEvolveのような強力なAIツールも含まれるのです。
和差集合とは何か？
カメラを近づけて、数学者を数十年も魅了し続けている和差集合の問題に迫ってみましょう。
簡単に言えば、これは整数の集合に関するゲームであり、和集合（A+B）と差集合（A-B）の大きさの比較がその核心です。
想像二つの袋A、Bを想像してください：
和集合（A + B）：それぞれから一つずつ取り出し、足し算をして、そのすべての結果を集めた集合。
差集合（A − B）：同様の操作で引き算をする。
例えばA={1, 2}、B={3, 4}の場合、A+B={1+3, 1+4, 2+3, 2+4} = {4, 5, 5, 6} = {4, 5, 6}（要素は重複しない）。
A-B={1-3, 1-4, 2-3, 2-4} = {-2, -3, -1, -2} = {-1, -2, -3}。
数学者が行うゲームは：
和集合を十分に小さくし、差集合を十分に大きくする。
「大きい」を測る指数がθであり、その限界が高いほど優れており、理論上のθの上限は4⁄3（約1.3333）です。
1ヶ月で3度の記録更新
これら3つのブレイクスルーはどのように達成されたのでしょうか？一つずつ見ていきましょう。
2007年、ハンガリーの数学者Gyarmati、Hennecart、Ruzsaの3人は、約3万個の要素を含む集合を構成し、θの下限を1.14465に固定しました。
この記録は、18年間も超えられない高峰のように静かにそびえ立っていました。
しかし、この記録は2025年5月14日に破られました。
DeepMindが発表したAlphaEvolve（テレンス・タオも参加）は、無限のエネルギーとユニークな視点を持つ探検家のように、新しい進化アルゴリズムを通じて、膨大な可能性の空間を「広範囲にスキャン」しました。
結果は驚くべきものでした：AlphaEvolveは54265個の要素を含む全く新しい集合を発見し、一挙にθの下限を1.1584に引き上げました！
これは間違いなく、AIが純粋数学の発見分野に投下した、大きな爆弾でした。
しかし、物語はそこで終わりませんでした。
わずか1週間後の5月22日、数学者のロバート・ゲルビッツは、AlphaEvolveの発見に基づいて、伝統的な人間の知恵を用いて「深掘り」を行いました。
彼はAIの構成を巧みに調整・拡張し、パラメータθをさらに1.173050にまで押し上げました！
これは小さな数字ではありません。数学の分野では、小数点以下のわずかな進歩が、理論的な認識における大きな飛躍を意味することがあります。
論文URL: https://arxiv.org/abs/2505.16105
テレンス・タオはこれに対し心から感嘆しました。「人間とAIの異なる方法論の相補性こそが、数学がこれほど急速に進歩している理由だ。」
AIの「広範囲スキャン」と人類の「深掘り」は、まるで二つのエンジンが同時に駆動するように、数学研究に待望の加速度をもたらしました。
そして今回、テレンス・タオはさらに、このパラメータθの改善を公表し、1.173050から1.173077に向上させました。
今回の突破は、より巧妙な発想によるものです。
著者はAlphaEvolveが依存する計算力による総当たり検索の方法を放棄し、代わりに前回の論文で使用された構成パラメータを「無限大」に設定しました。その後、「測度集中」の原理を借りて、θの極限値を直接計算しました。
その妙とは？
タオは説明します。「まさにその理由で、今回はわずかなコンピュータ支援しか必要なかったのです。」
著者はコンピュータプログラム（MATLAB）を用いて、異なるパラメータ値を慎重に試行し、この公式で算出できる最大値を見つけ出しました。
最終的に著者は、θの下限が1.173077まで向上できることを証明しました。
「対戦」から「共演」へ
θをめぐるこの探求は、AIと人類が協力して科学最前線を推進する新しいパラダイムを完璧に示しています。
AlphaEvolveは、その独自のアルゴリズムによって、人間には気づきにくいパターンや関連性を発見し、膨大な情報を迅速に処理することができます。
それが提供する初期の構成は、暗闇の中で灯された光のように、その後の探索の方向を示しました。
一方、数学者たちは深い思考能力を発揮します。
彼らはAIの発見の本質を理解し、その上で抽象化、一般化、理論的な昇華を行うことができます。ゲルビッツによるパラメータの最適化、そしてその後の漸近的な方法を用いたブレイクスルーは、人間の知性の独自の価値を示すものです。
将来、AIと人類の相互協力は極めて競争力を持つようになるでしょう。
人類の知恵の頂点である数学の分野で、私たちはこの傾向の加速を目の当たりにしています。
過去、私たちはAlphaGoが囲碁のトップ棋士を打ち破ったことに驚嘆しましたが、それは「対戦」関係が中心でした。
しかし、AlphaEvolveの成功、そしてそれを基にした数学者たちの連続的な突破は、より期待される「共演」関係を示しています。
AIはもはや単なるツールではなく、数学者たちがインスピレーションを得たり、発想を広げたり、発見を加速させたりするためのパートナーになりつつあります。
これは数学の勝利だけでなく、人間と機械の知性が手を取り合って未知の宇宙を共に探求する、科学的発見の新時代の到来を予感させるものです。
参考文献：
https://arxiv.org/abs/2506.01896
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